Was ist das Black-Scholes-Modell?
Das Black-Scholes-Modell ist eines der bekanntesten mathematischen Bewertungsmodelle für Optionen. Es wurde 1973 von Fischer Black und Myron Scholes entwickelt und später von Robert Merton erweitert. Ziel ist es, den theoretischen, fairen Preis einer Option zu bestimmen, basierend auf klar definierten Marktfaktoren und unter idealisierten Annahmen, wie etwa dem Fehlen von Transaktionskosten und Steuern.
Grundannahmen des Modells
Das Modell nimmt an, dass Aktienkurse einer geometrischen Brownschen Bewegung folgen – also einer kontinuierlichen und zufälligen Preisentwicklung mit konstanter Drift und Volatilität. Außerdem geht es von einem effizienten Markt aus, in dem Arbitrage nicht möglich ist, sowie einem konstanten risikofreien Zinssatz.
Formel des Black-Scholes-Modells
Für europäische Optionen lautet die Preisberechnung:
Call-Option: C = S × N(d1) – X × e-r×T × N(d2)
Put-Option: P = X × e-r×T × N(-d2) – S × N(-d1)
Dabei bedeuten:
– C: Preis der Call-Option
– P: Preis der Put-Option
– S: Aktueller Aktienkurs
– X: Ausübungspreis der Option
– r: Risikofreier Zinssatz
– T: Laufzeit der Option in Jahren
– N(d): Kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
– d1, d2: Berechnungsparameter basierend auf Kurs, Strike, Volatilität, Zinssatz und Zeit
Die genaue Bestimmung von d1 und d2 erfolgt über logarithmische und stochastische Berechnungen. Eine ausführliche mathematische Erklärung findest du in diesem Wikipedia-Artikel.
Anwendungsbereich
Das Black-Scholes-Modell wird vor allem zur Preisbestimmung von europäischen Optionen eingesetzt, die nur am Laufzeitende ausgeübt werden können. Es dient als Ausgangspunkt für viele weitere Modelle, etwa für komplexe Derivate oder exotische Optionen. Händler, Investoren und Analysten nutzen es für die Bewertung, zur Ermittlung impliziter Volatilität oder als Vergleichswert für Marktpreise.
Bedeutung für die Finanzmärkte
Das Modell hat die moderne Finanztheorie nachhaltig geprägt, indem es eine standardisierte, nachvollziehbare Methode zur Optionsbewertung bereitstellt. Es ist Grundlage für viele Handelsstrategien, Risikomanagementprozesse und regulatorische Bewertungen in der Finanzindustrie.
Mehr zur historischen Entwicklung und Kritikpunkte am Modell findest du bei der BaFin.
Was ist der Unterschied zwischen Call- und Put-Bewertung im Modell?
Die Call-Formel berechnet den Preis einer Kaufoption, während die Put-Formel den Preis einer Verkaufsoption liefert. Beide nutzen dieselben Eingabedaten, unterscheiden sich aber in der mathematischen Struktur. Mehr dazu erfährst du im Artikel zu Optionen.
Warum wird das Modell vor allem für europäische Optionen genutzt?
Weil es davon ausgeht, dass die Ausübung nur am Ende der Laufzeit erfolgen kann. Amerikanische Optionen, die jederzeit ausübbar sind, erfordern angepasste Modelle. Lies mehr im Beitrag zur Ausübung einer Option.
Welche Faktoren beeinflussen den Optionspreis laut Modell?
Die wichtigsten sind Aktienkurs, Ausübungspreis, Laufzeit, Volatilität und der risikofreie Zinssatz. Änderungen dieser Parameter wirken sich direkt auf den theoretischen Preis aus. Zum Weiterlesen: Einflussfaktoren auf den Preis einer Option.
Hinweis: Dieser Artikel im Grundlagen-Bereich von InvestingNavi dient ausschließlich der grundlegenden Information und Bildung. Er stellt keine Anlageberatung, kein Angebot und keine Aufforderung zum Kauf oder Verkauf von Finanzinstrumenten dar.